Menghitung Perubahan Luas dan Keliling Lingkaran Jika Jari-Jari Berubah

Pada postingan sebelumnya sudah memposting tentang luas dan keliling lingkaran. Rumus untuk menghitung luas (L) = πr² = ¼πd² dan rumus untuk menghitung keliling (K) = πd = 2πr. Apa yang terjadi jika nilai r atau d tersebut kita ubah? Tentunya maka besarnya keliling maupun luasnya juga mengalami perubahan. Bagaimana besar perubahan itu? Untuk mengetahui bagaimana besar perubahan tersebut coba perhatikan uraian berikut.

Misalkan sebuah lingkaran memiliki jari-jari r₁, diperbesar sehingga jari-jarinya menjdi r₂, dengan r₂> r₁. Jika luas lingkaran semula adalah L₁ dan luas lingkaran setelah mengalami perubahan jari-jari adalah L₂ maka selisih luas kedua lingkaran adalah:

L₂ - L₁ = πr₂²– πr₁²

L₂ - L₁ = π(r₂²– r₁²)

L₂ - L₁ = π(r₂– r₁) (r₂+ r₁)

Jika keliling lingkaran semula adalah K₁dan keliling setelah mengalami perubahan jari-jari adalah K₂ maka selisih keliling kedua lingkaran adalah

K₂ - K₁ = 2πr₂- 2πr₁

K₂ - K₁ = 2π(r₂- r₁)

Kamu juga dapat menghitung perbandingan luas dan keliling lingkaran jika jari-jari berubah. Perbandingan luas kedua lingkaran sebagai berikut.

L₂ : L₁ = πr₂²: πr₁²

L₂ : L₁ = r₂²: r₁²

Adapun perbandingan kelilingnya adalah

K₂ : K₁ = 2πr₂: 2πr₁

K₂ : K₁ = r₂ : r₁

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa lingkaran yang berjari-jari r₁, setelah mengalami perubahan jari-jari menjadi r₂ dengan r₂ > r₁, maka selisih serta perbandingan luas dan kelilingnya sebagai berikut.

L₂- L₁ = π(r₂ – r₁) (r₂+ r₁)

K₂- K₁ = 2π(r₂ - r₁)

L₂: L₁ = r₂² : r₁²

K₂: K₁ = r₂ : r₁

Contoh Soal Tentang Menghitung Perubahan Luas dan Keliling Lingkaran Jika Jari-Jari Berubah

Contoh Soal 1

Hitunglah selisih serta perbandingan luas dan keliling lingkaran yang berjari-jari 2 cm dan 4 cm.

Penyelesaian:

Lingkaran berjari-jari 2 cm, maka r1 = 2.

Lingkaran berjari-jari 4 cm, maka r2 = 4.

Selisih luas = L₂ - L₁

Selisih luas = π(r₂ – r₁)(r₂+ r₁)

Selisih luas = π(4 cm – 2 cm)(4 cm+ 2 cm)

Selisih luas = π x 2 cm x 6 cm

Selisih luas = 12π cm2

Selisih keliling = K₂ - K₁

Selisih keliling = 2π(r₂ - r₁)

Selisih keliling = 2π(4 cm- 2 cm)

Selisih keliling = 2π x 2 cm

Selisih keliling = 4π cm

Perbandingan luas = L₂ : L₁

Perbandingan luas = r₂² : r₁²

Perbandingan luas = (4 cm )² : (2 cm)²

Perbandingan luas = 16 cm² : 4 cm²

Perbandingan luas = 4: 1

Perbandingan keliling = K₂ : K₁

Perbandingan keliling = r₂ : r₁

Perbandingan keliling = 4 cm : 2 cm

Perbandingan keliling = 2  : 1

Contoh Soal 2

Diketahui suatu lingkaran berjari-jari r cm. Hitung selisih serta perbandingan luas dan keliling lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi

a. dua kalinya;

b. (r + 2) cm.

Jawab:

a) Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari r adalah:

L₁ = πr² cm²

K₁ = 2πr cm

Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari 2r adalah:

L₂ = π(2r)²= 4πr²cm²

K₂ = 2π(2r) = 4πr cm

Selisih luas jika jari-jarinya diubah menjadi dua kalinya:

L₂ - L₁ = 4πr²- πr²

L₂ - L₁ = 3πr²cm²

Selisih keliling jika jari-jarinya diubah menjadi dua kalinya:

K₂ - K₁= 4πr - 2πr

K₂ - K₁= 2πr cm

Perbandingan luas lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi dua kalinya:

L₂ : L₁ = 4πr²cm² : πr² cm²

L₂ : L₁ = 4 : 1

Perbandingan keliling lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi dua kalinya:

K₂ : K₁ = 4πr cm : 2πr cm

K₂ : K₁ = 2 : 1

b) Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari r adalah:

L₁ = πr² cm²

K₁ = 2πr cm

Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari (r + 2) cm adalah:

L₂ = π((r + 2) cm)²

L₂ =  π (r² + 4r + 4) cm²

L₂ = (πr² + 4πr + 4 π) cm²

K₂ = 2π((r + 2) cm)

K₂ = (2πr + 4π)cm

Selisih luas jika jari-jarinya diubah menjadi (r + 2) cm:

L₂ - L₁ = (πr²+ 4πr + 4 π) cm² - πr² cm²

L₂ - L₁ = (4πr + 4 π) cm²

Selisih keliling jika jari-jarinya diubah menjadi (r + 2) cm:

K₂ - K₁= (2πr + 4π)cm - 2πr cm

K₂ - K₁= 4π cm

Perbandingan luas lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi (r + 2) cm:

L₂ : L₁ = (πr²+ 4πr + 4 π) cm² : πr² cm²

L₂ : L₁ = (r² + 4r + 4) : r²

L₂ : L₁ = (1 + 4/r + 4 r2) : 1

Perbandingan keliling lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi (r + 2) cm:

K₂ : K₁= (2πr + 4π) cm : 2πr cm

K₂ : K₁= (r + 2) : r

K₂ : K₁= (1 + 2/r) : 1

Contoh soal 3

Diketahui jari-jari suatu lingkaran semula 7 cm. Hitunglah selisih dan perbandingan luas dan keliling lingkaran setelah jari-jarinya

a. diperbesar tiga kalinya;

b. diperkecil 1/2 kalinya.

Jawab:

a) Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari 7 cm adalah:

L₁ = πr²

L₁ = π x (7 cm)²

L₁ = 22/7 x 49 cm²

L₁ = 154 cm²

K₁ = 2πr

K₁ = 2π x 7 cm

K₁ = 2x22/7x 7 cm

K₁ = 44 cm

Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari diperbesar tiga kali (jari-jarinya menjadi 3 x 7 cm = 21 cm) adalah:

L₂ = π(21 cm)²

L₂ = 22/7 x 441 cm²

L₂ = 1.386 cm²

K₂ = 2π(21 cm)

K₂ = 2x 22/7 x 21 cm

K₂ = 132 cm

Selisih luas untuk jari-jari diperbesar tiga kali adalah:

L₂ - L₁ = 1.386 cm²- 154 cm²

L₂ - L₁ = 1.232 cm²

Selisih keliling untuk jari-jari diperbesar tiga kali adalah:

K₂ - K₁= 132 cm - 44 cm

K₂ - K₁= 88 cm

Perbandingan luas lingkaran untuk jari-jari diperbesar tiga kali adalah:

L₂ : L₁ = 1.386 cm²: 154 cm²

L₂ : L₁ = 9 : 1

Perbandingan keliling lingkaran untuk jari-jari diperbesar tiga kali adalah:

K₂ : K₁ = 132 cm : 44 cm

K₂ : K₁ = 3 : 1

b) Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari 7 cm adalah:

L₁ = πr²

L₁ = π x (7 cm)²

L₁ = 22/7 x 49 cm²

L₁ = 154 cm²

K₁ = 2πr

K₁ = 2π x 7 cm

K₁ = 2x22/7x 7 cm

K₁ = 44 cm

Luas dan keliling lingkaran untuk jari-jari diperkecil 1/2 kali (jari-jarinya menjadi 7 cm/2 = 7/2 cm) adalah:

L₂ = π(7/2 cm)²

L₂ = 22/7 x 12,25 cm²

L₂ = 38,5 cm²

K₂ = 2π (7/2 cm)

K₂ = 2 x 22/7 x 7/2 cm

K₂ = 22 cm

Selisih luas untuk jari-jari diperkecil ½ kali adalah:

L₁ – L₂ = 154 cm2 – 38,5 cm²

L₁ – L₂ = 115,5 cm²

Selisih keliling untuk jari-jari diperkecil ½ kali adalah:

K₁ – K₂= 44 cm - 22 cm

K₁ – K₂= 22 cm

Perbandingan luas lingkaran untuk jari-jari diperkecil ½ kali adalah:

L₂ : L₁ = 38½  cm² : 154 cm²

L₂ : L₁ = 77: 308

L₂ : L₁ = 1: 4

Perbandingan keliling lingkaran untuk jari-jari diperkecil ½ kali adalah:

K₂ : K₁ = 22 cm: 44 cm

K₂ : K₁ = 1 : 2

Contoh Soal 4

Perbandingan luas dua buah lingkaran adalah 616 cm²: 2.464 cm². Hitunglah

a. perbandingan keliling kedua lingkaran

b. selisih keliling kedua lingkaran;

c. perbandingan jari-jari kedua lingkaran;

d. selisih jari-jari kedua lingkaran.

Jawab:

Terlebih dahulu cari jari-jari untuk kedua lingkaran terebut. Untuk lingkaran yang pertama dengan luas 616 cm²adalah:

L₁ = πr²

616 cm² = π x r₁²

616 cm² = 22/7 x r₁²

r₁² = 196 cm²

r₁ = √(196 cm²)

r₁ = 14 cm

Untuk lingkaran yang pertama dengan luas 2.464 cm² adalah:

L₂ = πr²

2.464 cm² = π x r₂²

2.464 cm2 = 22/7 x r₂²

r₂² = 784 cm²

r₂ = √(784 cm²)

r₂ = 28 cm

a. untuk mencari perbandingan keliling kedua lingkaran, terelebih dahulu cari kedua keliling lingkaran tersebut. Untuk lingkaran pertama dengan jari-jari 14 cm adalah

K₁ = 2πr

K₁ = 2π x 14 cm

K₁ = 2x22/7x 14 cm

K₁ = 88 cm

Untuk lingkaran pertama dengan jari-jari 28 cm adalah:

K₂ = 2πr

K₂ = 2π x 28 cm

K₂ = 2 x 22/7 x 28 cm

K₂ = 176 cm

Maka perbandingan keliling kedua lingkaran adalah:

K₁ : K₂ = 88 cm :  176 cm

K₁ : K₂ = 1 :  2

b) Selisih keliling kedua lingkaran adalah:

K₂ – K₁ = 176 cm - 88 cm

K₂ – K₁ = 90 cm

c. perbandingan jari-jari kedua lingkaran adalah:

r₁ : r₂ = 14 cm : 28 cm

r₁ : r₂ = 1 : 2 cm

d. selisih jari-jari kedua lingkaran.

r₂ - r₁ : = 28 cm - 14 cm

r₂ - r₁ : = 14 cm

Contoh Soal 5

Jari-jari dua buah lingkaran masin-masing adalah a cm dan 3a cm. Jika jumlah panjang jari-jari kedua lingkaran itu 28 cm, tentukan

a. nilai a

b. perbandingan luas dan kelilingnya

c. selisih luas dan kelilingnya.

Jawab:

Diketahui:

r₁ = a cm

r₂ = 3a cm

r1 + r2 = 28 cm

ditanyakan:

a) nilai a = ?

b) L₂ : L₁ = ? dan K₂: K₁ = ?

c) L₂ – L₁ = ? dan K₂– K₁ = ?

Penyelesaiannya:

a) a cm + 3a cm = 28 cm

4a cm = 28 cm

a = 28 cm/4 cm

a = 7

b) untuk mencari perbandingan luas dan kelilingnya terlebih dahulu mencari jari-jari untuk kedua lingkaran tersebut, kemudian mencari luas dan keliling masing-masing lingkaran tersebut.

r₁ = a cm = 7 cm

L₁ = πr²

L₁ = π(7 cm)²

L₁ = 22/7 x 49 cm²

L₁ = 154 cm²

K₁ = 2πr

K₁ = 2π (7 cm)

K₁ = 2 x 22/7 x 7 cm

K₁ = 44 cm

r₂ = 3a cm = 3 x 7 cm = 21 cm

L₂ = πr²

L₂ = π(21 cm)²

L₂ = 22/7 x 441 cm²

L₂ = 1.386 cm²

K₂ = 2πr

K₂ = 2π (21 cm)

K₂ = 2 x 22/7 x 21 cm

K₂ = 132 cm

Perbandingan luas lingkaran

L₂ : L₁ = 1.386 cm²: 154 cm²

L₂ : L₁ = 9 : 1

Perbandingan keliling lingkaran

K₂ : K₁ = 132 cm : 44 cm

K₂ : K₁ = 3 : 1

c ) Selisih luas lingkaran adalah

L₂ – L₁ = 1.386 cm²- 154 cm²

L₂ – L₁ = 1.232 cm²

Selisih keliling lingkaran adalah

K₂ – K₁ = 132 cm - 44 cm

K₂ – K₁ = 88 cm

Soal Latihan Tentang Menghitung Perubahan Luas dan Keliling Lingkaran Jika Jari-Jari Berubah

Soal Latihan 1

Diketahui suatu lingkaran berjari-jari x cm. Hitung selisih serta perbandingan luas dan keliling lingkaran jika jari-jarinya diubah menjadi

a. dua kalinya;

b. 2(x + 1) cm.

Soal Latihan 2

Diketahui diameter suatu lingkaran semula 56 cm. Hitunglah selisih dan perbandingan luas lingkaran setelah diameternya

a. diperbesar empat kalinya;

b. diperkecil 1/3 kalinya.

Soal Latihan 3

Perbandingan keliling dua buah lingkaran adalah 154 cm : 308 cm. Hitunglah

a. perbandingan luas kedua lingkaran

b. selisih luas kedua lingkaran;

c. perbandingan jari-jari kedua lingkaran;

d. selisih jari-jari kedua lingkaran.

Soal Latihan 4

Jari-jari dua buah lingkaran masin-masing adalah r cm dan 5r cm. Jika jumlah panjang jari-jari kedua lingkaran itu 84 cm, tentukan

a. nilai r;

b. perbandingan luas dan kelilingnya;

c. selisih luas dan kelilingnya.