Cara Mengerjakan Turunan Fungsi Trigonometri

Pada dasarnya turunan merupakan limit suatu fungsi. Jadi, untuk menentukan turunan fungsi trigonometri dapat dicari dengan menggunakan konsep limit fungsi sebagai berikut

Untuk memahami konsep tersebut silahkan anda perhatikan contoh soal berikut.

Contoh soal 1

Tentukan turunan dari f(x) = sin ax.

Penyelesaian

Untuk mengerjakan soal ini anda harus mengingat konsep dasar dari trigonometri yakni:

sin A – sin B = 2 cos ½ (A + B)sin ½ (A – B)

dan juga harus ingat konsep dasar dari limit tri gonometri yakni:

 

maka

Contoh soal 2

Tentukan turunan dari f(x) = cos ax

Penyelesaian

Untuk mengerjakan soal ini anda harus mengingat konsep dasar dari trigonometri yakni:

cos A – cos B = -2 sin ½ (A + B)sin ½ (A – B)

dan juga harus ingat konsep dasar dari limit tri gonometri yakni:

 

maka

Contoh soal 3

Tentukan turunan dari f(x) = tan ax

Penyelesaian

Untuk mengerjakan soal ini anda harus mengingat konsep dasar dari trigonometri yakni bahwa

dan juga harus ingat konsep dasar turunan fungsi yang berbentuk y = u/v yakni bahwa:

maka

misal:

u = sin ax => u′ = acos ax

v = cos ax => v′ = - asin ax

f ′(x) =

f ′(x) =

f ′(x) =

f ′(x) =

f ′(x) = asec² ax

Contoh soal 4

Tentukan turunan dari f(x) = cot ax

Untuk mengerjakan soal ini anda harus mengingat konsep dasar dari trigonometri yakni bahwa

dan juga harus ingat konsep dasar turunan fungsi yang berbentuk y = u/v yakni bahwa:

y = u/v

y' =

maka

misal:

u = cos ax => u′ = - asin ax

v = sin ax=> v′ = acos ax

f ′(x) =

f ′(x) =

f ′(x) =

f ′(x) =

f ′(x) = -a cosec² ax

Contoh soal 5

Tentukan turunan dari f(x) = sec ax

Untuk mengerjakan soal ini anda harus mengingat konsep dasar dari trigonometri yakni bahwa

sec A = 1/cos A = (cos A)^-1

dan juga harus ingat konsep dasar turunan fungsi yang berbentuk y = uⁿ yakni bahwa:

y = uⁿ

y' = n.u'.u^n-1

maka

f(x) = sec ax

f(x) = 1/cos ax

f(x) = (cos ax)^-1

misal:

u = cos ax => u′ = -a sin ax

f ′(x) = n.u'.u^n-1

f ′(x) = -1 (-a sin ax)( cos ax)^-1-1

f ′(x) = asin ax. (cos ax)^-2

f ′(x) = asin ax/(cos ax)²

f ′(x) = asin ax/((cos ax)(cos ax))

f ′(x) = a tan ax /cos ax

f ′(x) = a tan ax . sec ax

Contoh soal 6

Tentukan turunan dari f(x) = cosec ax

Untuk mengerjakan soal ini anda harus mengingat konsep dasar dari trigonometri yakni bahwa

cosec A = 1/sin A = (sin A)^-1

cos A/sin A = cot A

dan juga harus ingat konsep dasar turunan fungsi yang berbentuk y = uⁿ yakni bahwa:

y = uⁿ

y' = n.u'.u^n-1

maka

f(x) = cosec ax

f(x) = 1/sin ax

f(x) = (sin ax)^-1

misal:

u = sin ax => u′ = a cos ax

f ′(x) = n.u'.u^n-1

f ′(x) = -1 (a cos ax)(sin ax)^-1-1

f ′(x) = -a cos ax. (sin ax)^-2

f ′(x) = -a cos ax/(sin ax)²

f ′(x) = -a cos ax/((sin ax)(sin ax))

f ′(x) = -a cot ax /sin ax

f ′(x) = -a cot ax. cosec ax

Bedasarkan contoh soal 1 sampai 6 maka dapat ditarik kesimpulan bahwa:

Jika y = sin ax, maka y' = acos ax

Jika y = acos ax, maka y' = –asin ax

Jika y = tan ax, maka y' = a sec² ax

Jika y = cot ax, maka y' = –a cosec² ax

Jika y = sec ax, maka y' = a sec ax tan ax

Jika y = cosec ax, maka y' = acosec ax cot ax

dalam hal ini amerupakan sebuah konstanta (bilangan konstan)

Selain itu turunan fungsi trigonometri nengikuti aturan turunan fungsi berbentuk perkalian (y = u.v), berbentuk pembagian (y = u/v) dan berebntuk pangkat (y = uⁿ). Sebagai contoh perhatikan soal berikut ini.

Contoh Soal 1

Tentukan turunan pertama fungsi f(x) = sin 10x

Penyelesaian:

f(x) = sin 10x

f ′(x) = 10 cos 10x

Contoh Soal 2     

Tentukan turunan pertama fungsi f(x) = 10 sin ( ½ x + 6)

Penyelesaian:

f(x) = 10 sin ( ½ x + 6)

f ′(x) = 10. ½ cos ( ½ x + 6)

f ′(x) = 5 cos ( ½ x + 6)

Contoh Soal 3     

Tentukan turunan pertama fungsi f(x) = x²sec x.

Penyelesaian:

Untuk menjawab soal ini maka  anda kembali meningat konsep turunan dalam bentuk y = u.v.

misal:

u = x² => u′ = 2x

v = sec x => v ′ = sec x tan x

maka

f(x) = u.v.

f′(x) = u' v + u v'.

f ′(x) = 2x. sec x + x² sec x tan