Hubungan Sudut Pusat, Panjang Busur, Luas Juring, dan Luas Tembereng

Pernahkah Anda melihat orang bermain tolak peluru? Kalau belum pernah melihatnya coba perhatikan gambar di bawah ini!

Gambar di atas merupakan orang yang mau melempar peluru. Tahukah Anda bagaimana bentuk lapangan permainan tolak peluru? Gambar A di bawah ini merupakan gambar bentuk lapangan tolak peluru.

Gambar A

Jika dilihat secara mendetail pada lingkaran (titik A) maka gambar lapangan tolak peluru seperti gambar B di bawah ini.

Gambar B

Dapatkah Anda menghitungnya berapa panjang busur yang dibentk oleh sudut 45 pada Gambar B? Sekarang perhatikan Gambar A, titik A sama seperti gambar B. Jika jarak anak A dan anak B sejauh 100 m, dapatkah Anda hitung berapa panjang busur (garis lengkung) yang dibentuk oleh anak B dan anak C?

Untuk menjawab soal tersebut Anda harus paham dengan konsep keliling lingkaran, sudut pusat, dan panjang busur serta hubungannya.

 

Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari yang berpotongan pada pusat lingkaran. Pada gambar di bawah, sudut AOB = α adalah sudut pusat lingkaran. Garis lengkung AB disebut busur AB dan daerah arsiran OAB disebut juring OAB. Pada pembahasan kali ini, kita akan mempelajari hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring pada sebuah lingkaran.

 

Hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring adalah sebagai berikut.

Jadi, panjang busur dan luas juring pada suatu lingkaran berbanding lurus dengan besar sudut pusatnya. 

 

Sekarang perhatikan Gambar di atas tersebut. Dari gambar tersebut diperoleh

Sekarang, misalkan ∠ COD = satu putaran penuh = 360° maka keliling lingkaran = 2πr, dan luas lingkaran = πr² dengan r jari-jari, akan tampak seperti Gambar di atas, sehingga diperoleh

 

Dengan demikian, diperoleh rumus panjang busur AB, luas juring AB, dan luas tembereng AB pada Gambar di atas adalah

panjang busur AB = (α/360°) x 2πr

luas juring OAB = (α/360°) x πr²

luas tembereng AB = luas juring OAB – luas Δ AOB.

Berdasarkan penjelasan tersebut didapat tiga hubungan yakni:

• Hubungan sudut pusat dengan panjang busur
• Hubungan sudut pusat dengan luas juring 
• Hubungan panjang busur dengan luas juring

Berdasarkan penjelasan tersebut dapatkah Anda menjawab soal berapa panjang busur yang dibentuk oleh sudut 45 pada Gambar B? 

Berikut pembahasannya:
Pada gambar tersebut diketahui bahwa d = 2,135 m dan α = 45°, maka:
Panjang busur = (∠ pusat/360°)  x πd
Panjang busur = (45°/360°)  x 3,14 x 2,135 m
Panjang busur = 0,84 m
Jadi panjang busur pada gambar B adalah 0,48 m

Sekarang perhatikan Gambar A, titik A sama seperti gambar B. Jika jarak anak A dan anak B sejauh 100 m, dapatkah Anda hitung berapa panjang busur (garis lengkung) yang dibentuk oleh anak B dan anak C?

Berikut pembahasannya:
Pada gambar tersebut diketahui bahwa r = 100 m dan α = 45°, maka:
Panjang busur = (∠ pusat/360°)  x πd
Panjang busur = (45°/360°)  x 3,14 x 100 m
Panjang busur = 39,25 m

Jadi panjang busur pada gambar A adalah 39,25 m

Contoh Soal Tentang Hubungan Antara Sudut Pusat, Panjang Busur, Dan Luas Juring

Perhatikan Gambar di atas. Diketahui panjang jari-jari OA = 28 cm. Jika besar ∠ AOB = 90°, hitunglah

1. panjang AB ;
2. luas juring OAB;
3. luas tembereng AB.

Penyelesaian:

1. Panjang AB = (∠ AOB/360°)  x 2πr
   Panjang AB = (90°/360°)  x 2 x 22/7 x 28 cm
   Panjang AB = (1/4)  x 2 x 22/7 x 28 cm
   Panjang AB =  44 cm
2. luas juring OAB = (∠ AOB/360°)  x πr²
   luas juring OAB = (90°/360°)  x 22/7 x (28 cm)²
   luas juring OAB = (1/4)  x 22/7 x 28 x 28 cm²
   luas juring OAB = 616 cm²
3. Karena besar sudut AOB = 90°, maka Δ AOB adalah Δsiku-siku sisi 10 cm, sehingga
   Luas Δ AOB = ½ alas x tinggi
   Luas Δ AOB = ½ x 28 cm x 28 cm
   Luas Δ AOB = 392 cm<sup>2
   
   Luas tembereng AB = luas juring AOB – luas ΔAOB</sup>
   Luas tembereng AB = 616 cm² – 392 cm²
   Luas tembereng AB = 224 cm²

 

Demikian materi tentang hubungan antara sudut pusat, panjang busur, dan luas juring. Untuk contoh soal dan pembahasannya silahkan baca postingan Mafia Online dengan judul "Contoh Soal Tentang Hubungan Antara Sudut Pusat, Panjang Busur, Dan Luas Juring"dan cara penyelesaiannya.