Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling Lingkaran

Sebelum Anda mempelajari lebih jauh mengenai hubungan sudut pusat dengan sudut keliling lingkaran. Anda harus paham terlebih dahulu pengertian unsur-unsur atau bagian-bagian lingkaran khusunya tentang busur, sudut pusat dan sudut keliling lingkaran.

 

Coba perhatikan gambar di atas dengan seksama, ∠AOB merupakan sudut pusat lingkaran dan ∠ACB merupakan sudut keliling lingkaran. Sudut pusat ∠AOB dan sudut keliling ∠ACB menghadap busur yang sama, yaitu AB. Lalu bagaimana hubungan sudut pusat dengan sudut keliling jika menghadap busur yang sama?

Untuk mengetahui hubungan antara sudut pusat dengan sudut keliling lingkaran yang menghadap busur yang sama, perhatikan terlebih dahulu gambar di bawah.

Lingkaran di atas berpusat di titik O dan mempunyai jari-jari OA = OB = OC = OD = r. Misalkan ∠AOC = αdan ∠COB = β, maka ∠AOB = α + β.

Perhatikan ΔBOD!

∠BOD pelurus bagi ∠BOC, sehingga ∠BOD = 180° – β .

ΔBOD segitiga sama kaki, karena OB = OD = r, sehingga

∠ODB = ∠OBD = ½ (180° - ∠BOD)

Karena ∠BOD = 180° – β , maka diperoleh

∠ODB = ∠OBD = ½ (180° - (180° – β))

∠ODB = ½ β

Sekarang perhatikan ΔAOD!

∠AOD pelurus bagi ∠AOC, sehingga ∠AOD = 180° – α. ΔAOD adalah segitiga sama kaki, karena OA = OD = r, sehingga

∠ODA = ∠OAD = ½ (180° - ∠AOD)

∠ODA = ∠OAD = ½ (180° - (180° – α))

∠ODA = ∠OAD = ½ α

Dengan demikian mengunakan persamaan ∠ODB = ½β dan ∠ODA = ½α, maka besar ∠ADB dapat di cari:

∠ADB = ∠ODA + ∠ODB

∠ADB = ½β + ½α

∠ADB = ½ (β + α)

∠ADB = ½ ∠AOB atau

besar ∠AOB = 2 x besar ∠ADB.

Karena ∠ AOB adalah sudut pusat dan ∠ADB adalah sudut keliling, di mana keduanya menghadap ∠AB , maka dapat disimpulkan sebagai berikut.


Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama maka besar sudut pusat = 2 x besar sudut keliling.

Untuk memantapkan pemahaman Anda mengenai sudut hubungan sudut pusat dengan sudut keliling lingkaran yang menghadap busur yang sama, silahkan pelajari contoh soalnya pada postingan "Contoh Soal Tentang Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling Lingkaran"