Kita ketahui bahawa perkalian vektor dibedakan menjadi tiga macam, yaitu perkalian vektor dengan skalar, perkalian dua buah vektor yang hasilnya berupa skalar (perkalian titik), dan perkalian dua buah vektor yang hasilnya vektor juga (perkalian silang). Mafia Online sudah mengulas tentang perkalian vektor dengan skalar dan perkalian titikdua buah vektor. Pada kesempatan ini Mafia Online akan mengulas tentang cara menentukan perkalian silang dua buah vektor.
Perkalian silang dua buah vektor A × B disebut juga sebagai cross product. Berbeda dengan perkalian titik dua buah vektor yang akan menghasilkan skalar, jika dua buah vektor A × B yang dioperasikan dengan cross product akan menghasilkan sebuah vektor. Perkalian silang A × B akan menghasilkan vektor yang arahnya tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh dua buah vektor tersebut, dan besarnya sama dengan hasil kali kedua vektor dengan sinus sudut apitnya. Sekarang coba perhatikan Gambar 1 di bawah ini.
 |
| Perkalian silang vektor A dan B Sumber gambar: BSE |
Gambar 1 di atas merupakan perkalian silang antara vektor A dengan vektor B yang menghasilkan vektor C. Di mana vektor C tegak lurus dengan bidang yang dibentuk oleh vektor A dan B dengan sudut apit α. Maka,
C = A × B
|C| = ABsin α
Untuk menentukan arah vektor C dapat kita gunakan aturan tangan kanan dan aturan sekerup. Untuk aturan tangan kanan, di mana ujung vektor A menuju ujung vektor B yang searah dengan lipatan keempat jari dan jempul jari menunjukan arah dari vektor C (perhatikan Gambar 3c). Sedangkan, untuk aturan sekerup, di mana jika vektor A di putar menuju vektor B maka uliran sekerup akan naik dan dapat diasumsikan sebagai arah dari vektor C(perhatikan Gambar 3a).
 |
| Aturan sekerup dan tangan kanan pada perkalian silang dua vektor Sumber: BSE |
Kita ketahui bahwa pada sifat operasi perkalian bilangan bulat akan berlaku sifat komutatif yakni:
A × B = B × A
Sedangkan pada perkalian silang dua buah vektor tidak berlaku sifat komutaif(A × B = B × A). Akan tetapi berlaku sifat antikomutatif yakni:
A × B = – B × A
Sekarang kembali lagi ke vektor satuan, untuk menentukan resultan vektor satuan dan persamaan perkalian vektor satuan, kita dapat menggunakan sifat-sifat dari perkalian silang sesama satuan.
Jika perkalian silang antara dua vektor satuan yang sama besar dan searah akan bernilai nol, karena sudut yang dibentuk oleh vektor tersebut besarnya 0°. Oleh karena itu,
i × i = (i)(i) sin 0°
i × i = 0 (sin 0° = 0)
begitu juga dengan:
j × j = 0
k × k = 0
Jika perkalian silang dua buah vektor satuan yang berbeda, akan bernilai positif jika searah putaran jarum jam, dan akan bernilai negatif jika arahnya berlawanan dengan arah puratan jarum jam, perhatikan gambar di bawah ini.
 |
| Aturan perkalian silang dengan menggunakan konsep arah putaran jam Sumber: BSE |
Maka:
i × j = k j × i = –k
j × k = i k × j = –i
k × i = j i × k = –j
Selain dengan cara di atas, ada cara lain yang lebih sederhana untuk mengingat rumus perkalian silang dua buah vektor A dan B, yitu dengan menggunakan metode determinan. Silahkan perhatikan gambar di bawah ini.
 |
| Cara cepat perkalian silang vektor A dan B Sumber: BSE |
Berdasarkan gambar di atas maka diperoleh rumus perkalian silang dua buah vektor A dan B yakni:
A × B = iAyBz+ jAzBx + kAxBy – kAyBx– iAzBy – jAxBz
A × B = iAyBz– iAzBy + jAzBx – jAxBz+ kAxBy – kAyBx
A × B = (AyBz– AzBy)i + (AzBx– AxBz)j + (AxBy– AyBx)k
Untuk memantapkan pemahaman Anda tentang perkalian silang (cross product) dua buah vektor, silahkan simak contoh soal di bawah ini.
Contoh Soal 1
Vektor A= 10 N dan vektor B = 20 cm, satu titik tangkap dan saling mengapit sudut 30° satu dengan lain. Tentukan hasil perkalian silang vektor A dan B.
Penyelesaian:
A × B = AB sin α
A × B = 10 N. 20 cm . sin 30°
A × B = 10 N. 20 cm . ½
A × B = 100 Nm
Contoh Soal 2
Hitunglah hasil perkalian silang dua verktor A = i + j + k dan B = 3i + j + 2k.
Penyelesaian:
A × B = (AyBz– AzBy)i + (AzBx– AxBz)j + (AxBy– AyBx)k
A × B = (1.2 – 1.1)i + (1.3 – 1.2)j + (1.1 – 1.3)k
A × B = (2 – 1)i + (3 – 2)j + (1 – 3)k
A × B = i + j – 2k
Nah demikian postingan Mafia Online tentang cara menentukan perkalian silang (cross product) dua buah vektor dan contoh soal serta pembahasannya. Mohon maaf jika ada kata atau perhitungan yang salah dalam postingan ini. Salam Mafia => Kita pasti bisa
No comments:
Post a Comment