Sudut Antara Dua Tali Busur Jika Berpotongan Di Dalam Lingkaran

Perhatikan gambar di bawah ini!

 

Lingkaran dengan pusat di titik O dengan titik E adalah titik potong antara tali busur AC dan BD. Dari gambar tersebut tampak bahwa ∠AEB, ∠BEC, ∠CED, dan ∠AED adalah sudut di dalam lingkaran yang dibentuk oleh perpotongan antara tali busur AC dan BD. 

Analogikan ada sebuah garis CD, maka dari gambar tersebut diperoleh:

∠BDC = ∠EDC adalah sudut keliling yang menghadap busur BC, sehingga:
∠BDC = ∠EDC = ½ x ∠BOC . . . pers (1)

∠ACD = ∠ECD adalah sudut keliling yang menghadap busur AD, sehingga:  
∠ACD = ∠ECD = ½ x ∠AOD. . . pers (2)

Sekarang perhatikan ΔCDE, bahwa:
∠CED + ∠ECD + ∠EDC = 180°
∠CED = 180°- ∠ECD - ∠EDC . . . pers (3)

Perhatikan bahwa ∠BEC adalah sudut luar ΔCDE, sehingga:
∠BEC + ∠CED= 180° (sudut berpelurus)

∠BEC = 180° - ∠CED , masukan pers (3) maka:

∠BEC = 180° - (180°- ∠ECD - ∠EDC)

∠BEC = ∠ECD  + ∠EDC, masukan pers (1) dan pers (2) maka:

∠BEC = ½ x ∠BOC + ½ x ∠AOD

∠BEC = ½ (∠BOC + ∠AOD)

Sekarang analogikan ada sebuah garis AD. Perhatikan gambar di bawah ini!

Dari gambar tersebut diperoleh:

∠ADB = ∠ADE adalah sudut keliling yang menghadap busur AB, sehingga:
∠ADB = ∠ADE = ½ x ∠AOB . . . pers (i)

∠CAD = ∠DAE adalah sudut keliling yang menghadap busur CD, sehingga:  
∠CAD = ∠DAE = ½ x ∠COD. . . pers (ii)

 

Sekarang perhatikan ΔADE, bahwa:
∠AED + ∠ADE + ∠DAE = 180°
∠AED = 180°- ∠ADE - ∠DAE . . . pers (iii)

Perhatikan bahwa ∠AEB adalah sudut luar ΔADE, sehingga:
∠AEB + ∠AED= 180° (sudut berpelurus)

∠AEB = 180° - ∠AED , masukan pers (iii) maka:

∠AEB = 180° - (180° -  ∠ADE - ∠DAE)

∠AEB = ∠ADE  + ∠DAE, masukan pers (i) dan pers (ii) maka:

∠AEB = ½ x ∠AOB + ½ x ∠COD

∠AEB = ½ (∠AOB + ∠COD)

 Sekarang analogikan ada sebuah garis AB. Perhatikan gambar di bawah ini!

∠ABD = ∠ABE adalah sudut keliling yang menghadap busur AD, sehingga:
∠ABD = ∠ABE = ½ x ∠AOD . . . pers (I)

∠BAC = ∠BAE adalah sudut keliling yang menghadap busur BC, sehingga:  
∠CAD = ∠BAE = ½ x ∠BOC. . . pers (II)

 

Sekarang perhatikan ΔABE, bahwa:
∠AEB + ∠ABE + ∠BAE = 180°
∠AEB = 180°- ∠ABE - ∠BAE . . . pers (III)

Perhatikan bahwa ∠AED adalah sudut luar ΔABE, sehingga:
∠AED + ∠AEB= 180° (sudut berpelurus)

∠AED = 180° - ∠AEB , masukan pers (III) maka:

∠AED = 180° - (180° -  ∠ABE - ∠BAE)

∠AED = ∠ABE  + ∠BAE, masukan pers (i) dan pers (ii) maka:

∠AED = ½ x ∠AOD + ½ x ∠BOC

∠AED = ½ (∠AOD + ∠BOC)

Sekarang analogikan ada sebuah garis BC. Perhatikan gambar di bawah ini!

Dari gambar tersebut diperoleh:

∠ACB = ∠BCE adalah sudut keliling yang menghadap busur AB, sehingga:
∠ACB = ∠BCE = ½ x ∠AOB . . . pers (a)

∠CBD = ∠CBE adalah sudut keliling yang menghadap busur CD, sehingga:  
∠CBD = ∠CBE = ½ x ∠COD. . . pers (b)
 
Sekarang perhatikan ΔBCE, bahwa:
∠BEC + ∠BCE + ∠CBE = 180°
∠BEC = 180°- ∠BCE - ∠CBE . . . pers (c)

Perhatikan bahwa ∠CED adalah sudut luar ΔBCE, sehingga:
∠CED + ∠BEC= 180° (sudut berpelurus)

∠CED = 180° - ∠BEC , masukan pers (c) maka:

∠CED = 180° - (180° -  ∠BCE - ∠CBE)

∠CED = ∠BCE  + ∠CBE, masukan pers (a) dan pers (b) maka:

∠CED = ½ x ∠AOB + ½ x ∠COD

∠CED = ½ (∠AOB + ∠COD)

Jadi berdasarkan gambar tersebut maka dapat ditarik kesimpulan:

∠BEC = ½ (∠BOC + ∠AOD)

∠AEB = ½ (∠AOB + ∠COD)

∠AED = ½ (∠AOD + ∠BOC) 

∠CED = ½ (∠AOB + ∠COD) 
Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut bahwa "besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran sama dengan setengah dari jumlah sudut-sudut pusat yang menghadap busur yang diapit oleh kaki-kaki sudut itu".

Contoh Soal Tentang Sudut Antara Dua Tali Busur Jika Berpotongan Di Dalam Lingkaran

Pada gambar di atas, diketahui besar ∠ POQ = 60° dan besar ∠ ROS = 130°. Tentukan besar ∠ PTQ.

Penyelesaian:

∠PTQ = ½ (∠POQ + ∠ROS)

∠PTQ = ½ (60°+ 130°)

∠PTQ = 95°

Demikian postingan Mafia Online tentang sudut antara dua tali busur jika berpotongan di dalam lingkaran. Untuk contoh soal yang lain baca artikel yang berjudul "contoh soal dan pembahasan tentang sudut antara dua tali busur jika berpotongan di dalam lingkaran".